基于自适应笛卡尔网格的浸入边界法研究

The immersed boundary method is a new version of numerical method which is suit for treating complex geometric boundary 、moving boundary、and fluid-solid interation problem， in which the structure immersed in fluid is considered as a kind of momentum forcing in the Navier-Stokes equations rather than a body. It is based on the treatment of the flow equations within an Eulerian framework and of the equations of motion of the immersed bodies with respect to a Lagrangian coordinate sustem including interaction equations providing the transfer between both frames. Campared with traditional numerical methods of fluid dynamics, this method have a series of advantages, such as easy to generate grid、natural parallel、efficient to handle the complex boundary. The adaptive immersed boundary method based on the refining mesh locally not only use the conventional Cartesian grid, but also easy to refine mesh adaptivly to enhance the accuracy. In this project，main contents include （1）a new adaptive immersed boundary methods is presented based on the omni-tree data structure; (2)for the case of the jumps in the fluid pressure and the fluid velocity accorsing fluid-structure interfaces. an second order adaptive immersed boundary method is proposed.(3)a characteristic immersed boundary method is presented by combing the characteristic method with the immersed boundary method. Compared the triditional numerical methods,the new algorith is easy to generate grid, and have better stability.

浸入边界法是适用于处理形状复杂的几何边界、可移动边界以及流固耦合问题等的一种数值方法。通过在流体运动方程中加力源项来实现物体边界与流体的相互作用。控制方程包括：欧拉形式的流场控制方程、拉格朗日形式的浸入边界对流场的施力方程以及将上述两种方程联系起来的相互作用方程。与传统的数值方法相比，浸入边界法具有网格生成简单，并行计算方便，边界容易处理等优点。基于局部网格加密技巧的自适应浸入边界法既保留了传统的笛卡尔网格生成简单、省时的特点，又具有网格容易加密，计算精度高的特点.本项目研究内容包括（1）基于复合叉树型结构的自适应浸入边界法；（2）针对流体压力和速度导数在界面上跳跃的情况，提出二阶精度的自适应浸入边界法。(3)将特征线方法与浸入边界法相结合，提出求解非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征线自适应浸入边界方法, 这种算法不但网格生成简单,且具有更好的稳定性。

基于自适应笛卡尔网格的浸入边界法其主要创新点在于自适应与浸入边界的结合，在浸入边界法中，主要采用了投影格式。投影格式的使用有助于降低求解难度，提高计算精度、节约计算成本；另一方面模型涉及到交界面的处理，因为对流体方程以及自由流和多孔介质流耦合问题的数值方法也进行了研究。具体如下. (a)针对非定常Navier-Stokes/Darcy模型提出了不同子区域采用不同时间步长的解耦方法：先把非定常Navier-Stokes/Darcy耦合问题分解为两个独立的子问题，其中一个子问题为非定常Navier-Stokes方程，对其求解时用小的时间步长，另一个为Darcy方程，对其求解时用相对大的时间步长。. (b)提出用修正的两层网格解耦方法来求解定常Navier-Stokes/Darcy耦合模型问题。所提出的修正的两层网格解耦方法在交界面处采用细网格解来近似，从而可以把速率梯度和压力关于 L2-范数的收敛率从 3/2提高到2。. (c) 提出一种基于最低等阶协调有限元空间的特征线稳定化有限元方法来求解Navier-Stokes/Darcy模型，进行了稳定性分析和误差估计，并用数值算例验证了理论上的结果。. (d) 利用稳定化的混合有限元两重网格方法求解定常非线性反应扩散方程.首先证明了离散系统解的存在唯一性；其次采用了最低等阶非协调（NCP1-P1）元来逼近，给出了误差估计；最后通过数值算例验证了理论分析的结果. .(e)考虑了在混合变分形式下的非定常反应扩散系统的二重网格方法，首先通过引入新的变量使得原方程通过混合变分形式来表示，然后使用最低等阶协调元(P1-P1)对方程进行离散.同时为了使格式满足LBB稳定性条件，通过定义单元上的压力投影引入稳定化项.. (f)采用分数步长法来求解非定常的N-S方程，将非线性项和不可压缩条件分裂到两个不同的子问题中，格式分为两步，第一步求解一个线性椭圆问题；第二步求解一个广义的Stokes问题。对于非线性项的处理采用显式处理。同时在格式的第二步增加了一个稳定化项，使得混合变分问题在计算时使用P1-P1元变得稳定。