组合弹性结构问题的混合DG有限元方法与高效求解

组合弹性结构问题数值解是当代结构工程、多场耦合力学和大规模科学计算等领域的交叉研究方向，应用前景广泛。项目申请人与合作者经不懈努力业已系统建立组合弹性结构问题位移型有限元方法及误差分析理论。但从实际应用角度看，往往更需要获得应力（弯矩）的精确数值解，因此急待发展求解该问题的混合元方法。本项目拟在自己已有工作的基础上，利用处理组合弹性结构问题的内蕴推演技巧，间断张量场各类迹量表式变换工具，借助前人提供的稳定型混合DG有限元方法的构造框架等成果，获得组合弹性结构问题的稳定混合DG有限元方法，并建立系统的误差估计理论。要求所得算法力学意义明晰，计算格式简洁，便于实际运用。同时，考虑到对混合DG有限元方法导出的线性方程组进行快速、高效求解的研究在国际上几乎还是空白，我们将以预处理GHSS-Krylov子空间方法和预处理Uzawa方法为基础，建立求解该类广义鞍点型线性方程组的高效计算方法。

间断Gakerkin（DG）方法的构造、分析与应用是近三十年来科学计算领域的热点研究方向，在求解很多数学物理方程时，取得了巨大的成功。使用混合间断Galerkin方法数值求解弹性结构问题时也有诸多优点，一是应力场是自动对称的，二是便于高维推广。因此，在本项目的资助下，对弹性结构的混合DG有限元方法开展了系统、深入研究工作。..(1) 对于Kirchhoff板弯问题，通过对单元边界上的切向弯矩、法向弯矩、切向剪力等各力学量引进数值痕，利用间断张量场的相关恒等式和Cockburn等构造HDG方法的基本思想和细致推导，获得了求解该问题的一个新型杂交DG方法。这个方法有诸多优点：一方面，该方法得到的数值解具有最优逼近误差估计，且通过后处理得到的挠度场具有超收敛性：另一方面，通过单元内部自由度消去过程，对于该离散化方法，我们只需求解定义在区域剖分界面上的未知量相应的对称正定线性方程组即可的数值结果，从而大为降低了计算复杂度。类似地，我们也构造了SCDG方法和LCDG方法并进行了误差分析和后处理分析。为了提高计算效率，也研究了混合DG方法的后验误差估计和自适应方法。..(2) 对于线性弹性力学问题，基于我们原有的算法框架，通过在原有双线性型中以局部提升算子代替全局提升算子，并省略若干跳量项，获得了求解线性弹性力学问题的一个紧致型DG方法，从而使得相应的离散化问题规模得以减小，同时计算过程关于Lame系数$\lambda$是稳健的。另外，我们也得到了前面的算法框架的hp型最优误差估计。 ..(3) 在离散化问题高效求解方面，我们构造了若干Uzawa型和Arrow-Hurwicz型迭代方法高效求解由混合元方法离散化定常不可压流体力学问题导出的非线性方程组。经过巧妙的分析，我们发现这些算法执行简便，收敛速度都不依赖于有限元剖分尺度，这样的结果在已知文献中并不多见。这些研究将对我们构造求解弹性力学问题混合DG方法导出的线性方程组的高效算法有重要借鉴意义。.. 总体而言，我们在Inverse Problems、Journal of Scientific Computing和Numer. Methods for PDEs等国际有重要影响的学术刊物共发表SCI论文10篇，基本完成项目拟定计划和目标。