Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数

我们拟研究对称群、A型和B型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数，同时将这些首项系数和代数群的表示相联系，进而深入研究Lusztig的模表示猜想。. Kazhdan-Lusztig理论是代数群表示论中一个核心的理论，Kazhdan-Lusztig多项式在该理论中起着突出的作用，在很多重大问题的解决中扮演着中心角色。从递归公式可见，这些多项式的首项系数对理解全体Kazhdan-Lusztig多项式非常重要，对胞腔的研究、Hecke代数的表示起着至关重要的作用，并且和表示论中许多其他分支有着紧密联系，例如和某些代数群的不可约模的扩张群有关系，和某些困难的不可约特征标的公式有关系，等等。. 尽管Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数如此重要，且吸引了许多世界著名的数学家，然而这方面的工作却非常零星，这方面的研究成果非常令人期待。

该项目研究了Kazhdan-Lusztig理论中的重要研究对象Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数。Kazhdan-Lusztig理论是代数群表示论中一个核心的理论，Kazhdan-Lusztig多项式在该理论中起着突出的作用，在很多重大问题的解决中扮演着中心角色。该项目主要关心对称群、A型和B型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数，同时将这些首项系数和代数群的表示相联系，进而深入研究Lusztig的模表示猜想。1. 完全刻画了A2 型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数。这是一项较为困难的工作，曾有一些欧美的数学家和我们进行过讨论，这些系数和表示论中许多方面都有密切联系。然而，解决手段不多，知之甚少。目前，能够完全刻画一个仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数，更是难上加难。我们在已有的计算方法基础上，进行了大胆的改进和创新，取得了全新的结果。2. 对B2 型仿射Weyl群进行了进一步的讨论研究，取得一些进展。3. 研究讨论了某些仿射Weyl群中起重要作用的特异对合元素及其它相关元素。我们具体对A2型和B2型仿射Weyl群计算了一些Di中的元素. 对于A2型仿射Weyl群我们计算出集合Di(i≤5)的所有元素；对于B2型仿射Weyl群给出D0和D1中的所有元素.以上这些结果对我们今后研究一般情形的Kazhdan-Lusztig多项式及其系数有着重要的意义，为我们下一步研究的展开奠定了基础。