亚纯函数的值分布与复微分、差分方程

One of the two purposes of this study is to make further research on the value distribution theory of meromorphic functions, especially the theory of angular distribution and deficient value. On the other hand, complex differential equations, difference equations and uniqueness of meromorphic functions will be studied by using some deep known results and new results in the value distribution theory of meromorphic functions. Combining the deep results in the theory of value distribution of meromorphic functions with the theory of complex equations, we will have the following results: first, some new research ways and results will be obtained in the theory of complex equations; Second, we will look for some new problems in the value distribution theory of meromorphic functions by studying deep the theory of complex equations and uniquenees, which will prompt the development of value distribution theory and related research fields.

本项目主要有两个目的，一方面是进一步研究亚纯函数的值分布理论，特别是辐角分布理论和亏值理论；另一方面是利用亚纯函数的值分布理论中已有的一些深刻结果和研究得到的新成果，特别是涉及到辐角分布和亏值的结果，去研究复微分方程、差分方程、差分值分布以及亚纯函数的唯一性。将亚纯函数的值分布理论中的深刻结果与复方程理论的研究相结合，一方面对复方程理论，将获得一些新的研究方法和结果。另一方面通过对复方程及唯一性理论的深入研究，必然会出现一些新的值分布问题，通过对这些新问题的研究，促进值分布理论的发展，同时带动与之相关领域的发展。

本项目主要利用亚纯函数的值分布理论及角域 Nevanlinna 理论，研究了复微分方程、差分方程解的增长性及亚纯函数的角域唯一性理论，具体涉及以下几个方面。.（1）复微分方程整函数解的性质：找到了一些使得复微分方程解具有快速增长的系数条件，比如 Denjoy 猜想极值函数、杨不等式极值函数、Fabry 缺项幂级数等；特别地部分解决了美国数学家 Gundersen 教授提出的关于复微分方程解的增长性的一个问题。.（2）复微分方程亚纯函数解的性质：得到了复微分方程亚纯解的超级的精确估计。.（3）复微分方程解的角域增长性：利用 Ahlfors-Shimizu 特征定义了亚纯函数在角域上的增长性，讨论了复微分方程解在角域上的[p,q]级。.（4）复差分方程解的性质：考虑了 Laine-Yang 提出的有关复差分方程解的增长性的一个问题，获得了当方程有多个型最大的系数时，差分方程亚纯解的增长级的下界估计。.（5）亚纯函数的唯一性理论：角域唯一性方面，结合角域 Nevanlinna 理论和亚纯函数辐角分布理论，证明了几个角域唯一性的定理；复平面唯一性方面，讨论非线性微分多项式分担小函数的分担值问题。.（6）同时我们也考虑了函数空间的算子理论上的有趣问题。