图的亏格与亏格分布的单峰性

Genus of a graph is an important parameter in the field of topological graph theory. It can be dated to the Map Color Conjecture of Heawood in 1890. Unimodality of genus distribution aims to Unimodality Conjecture which is the important conjecture in the field of topological graph theory. The program aims to construct genus embeddings of some special graphs and to provide a method for determining the genus of a Hamilton cubic graph and to check the unimodality of genus distribution for a ladder by studing properties of certain algebraic forms for embeddings of graphs. The program will generalize the results of genera from certain types of graphs to Hamilton cubic graphs and will make the result of a unimodality of genus distribution rich. It naturally makes a close connection between topological graph theroy and a unimodality of a finite sequence of numbers, which extends the field of topological graph theory. In addition, the results can be used to research the construction of a molecule in chemistry, biology and medicine ect.

无向图的亏格是拓扑图论的重要参数,源于1890年数学家Heawood提出的地图着色猜想。亏格分布的单峰性旨在进攻拓扑图论的重要猜想：单峰猜想。本项目致力于通过研究无向图在曲面上嵌入之代数结构的性质,构造特殊无向图类的亏格嵌入、设计求无向含Hamilton路3-正则图亏格的算法、判别无向梯图亏格分布的单峰性。本项目将把图的亏格方面的结果从仅有的某些对称性强的无向图类扩展到一般的无向含Hamilton路的3-正则图；使得无向图的亏格分布单峰性方面的结果更为丰富；并自然地把拓扑图论与组合数学中有限数列的单峰性紧密联系在一起，从而也扩展了拓扑图论的研究领域。项目的研究结果在化学、生物、医学等领域关于分子结构的研究方面有直接的应用前景。

本项目主要在图的亏格、图的亏格分布的单峰性及组合泛函方程方面开展研究工作..图的亏格问题是拓扑图论的重要参数，源于1890年数学家Heawood提出的地图着色猜想。我们提出了新的代数形式--形式集研究图的亏格问题。通过研究形式集和它的伴随图的性质,得到形式集的平面性准则并给出了确定其亏格的方法。给了一个3-正则图，我们提供了一个记录规则，提取它的嵌入曲面的集合。这个曲面的集合是一些形式集的集合。对于Hamilton 3-正则图，它的嵌入曲面的集合即是一个特殊的形式集。利用形式集我们提出了两种确定3-正则图的亏格嵌入的新方法：. 1. 通过求解形式集的亏格运算得到新的求解3-正则图的亏格.. 2. 运用已有图类的形式集的亏格，通过比较形式集的关系，确定新图类的亏格。.此方法将为进一步用代数方法研究图论问题提供新的思路。. 图的亏格分布的单峰性问题不仅关系到拓扑图论的单峰猜想，而且与组合数学有直接的联系。我们已经得到许多图的亏格分布是一些单峰数列的线性组合，本项目研究了单峰数列的线性组合何时是单峰数列的问题，得到了新的判别准则。利用这些准则确定了闭梯，环梯，Mo ̈bius 梯，Ringel梯及一类交叉图类的亏格分布的单峰性及峰点。. 除了围绕以上两个问题开展研究工作以外, 本项目还支持了专著《组合泛函方程》的部分新工作。若将函数看作带一个或多个未定元的无穷级数，其上的微分、差分、积分和介子运算皆可视为带泛函的方程。可以说组合泛函工作开辟了分析图论的研究方向.正是由于此项工作的重要意义,我们在此著作的基础上,把其中的3种外面型介子方程，植树型、普树型和冬梅型，推广到带参数的情形,提出了新的带参数的介子泛函方程。我们研究了它们的适定性，得到了这3类带参数的介子泛函方程有且仅有一个非负系数解的充分必要条件，求出了解的正项和表达式，并进而得到了它们显式解。不仅如此本项目提供了第一个程序检验植树型介子方程的结果。