气体动理学中矩方法的边界条件研究

The moment method is an important approach to model rarefied gas flows in gas kinetic theory. It has many potential applications in rarefied gas, plasma, micro-flow, granular flow, inertial confinement fusion and so on. Since the moment method was proposed in 1949, it has been strongly limited in applications due to the lack of hyperbolicity. In recent years, breakthrough progress has been made in hyperbolicity regularizations of the moment method and a framework for hyperbolicity regularizations of general moment equations has been developed. Based on the progress, this proposal is devoted to studying boundary conditions for the moment method. The well-posedness of initial-boundary value problems for moment equations will be checked by using the theory of hyperbolic relaxation systems. Moreover, the reduced boundary conditions for the corresponding equilibrium systems will be derived. This study is expected to develop and improve the theory of moment method. It is of significant importance for flow problems involving interactions between fluids and solid walls, particularly for micro-flow problems.

矩方法是气体动理学中对稀薄气体建模的一种重要方法，在稀薄气体、等离子体、微流、颗粒流和惯性约束核聚变等领域有很多潜在应用。自1949年提出以来，矩方法因为双曲性的缺失而使其应用受到极大限制。近几年，矩方法的双曲正则化取得突破性进展，发展了一般矩方程的双曲正则化框架。本项目拟在此基础上进一步研究矩方法的边界条件，借鉴双曲松弛系统理论检验矩方程初边值问题的适定性，并推导平衡方程的边界条件，为矩方法边界条件的有效性提供理论依据。该研究将发展和完善矩方法的理论，对很多涉及流体与固壁相互作用的流动问题尤为重要，特别是微流问题。

矩方法是气体动理学中对稀薄气体建模的一种重要方法，在稀薄气体、等离子体、微流、颗粒流和惯性约束核聚变等领域有很多潜在应用。因为双曲性的缺失，矩方法在这些领域的应用受到极大限制。自十九世纪以来，矩方法的双曲正则化一直备受关注，直到近几年才取得突破性进展，发展了一般矩方程的双曲正则化框架。一个进一步的问题是对双曲矩方程提合适的边界条件。事实上，矩方程的一般形式为带刚性源项的一阶偏微分方程，即双曲松弛系统，这类方程的理论研究已经较为成熟。因此，本项目借鉴双曲松弛系统的理论研究矩方程的边界条件。首先，研究了一个一维线性化双曲矩方程的初边值问题，其边界条件由Boltzmann方程的Maxwell边界条件导出，并含有一个自由参数。我们指出，即使松弛系统的稳定性条件和双曲方程的Kreiss条件满足，初边值问题仍可能具有指数增长解。为了澄清该问题，我们检验广义Kreiss条件并确定参数的取值范围。在该条件下，我们结合能量估计和Laplace变换证明了解的稳定性，进一步推导了平衡方程的边界条件，数值验证了初边值问题在松弛极限下的收敛性。该工作首次利用双曲松弛系统理论对矩方法初边值问题进行理论分析，对矩方法边界条件的有效性提供了理论依据。其次，对一般双曲松弛系统的显隐Runge-Kutta方法提出了有效的边界处理格式，该方法适用于任意阶显隐（显式）Runge-Kutta方法，克服了已有边界处理只适用于三阶以下方法的不足。双曲矩方程是典型的双曲松弛系统，因此我们的边界方法也是用于矩方法，有助于矩方法用于实际流体问题的数值模拟。此外，我们还研究了另外一类动理学方法-格子Boltzmann方法的边界条件，从理论上澄清了多松弛模型半反弹格式的二阶精度，丰富了格子Boltzmann方法的数学理论，并为其提供了有效的边界处理格式。