量子自旋-玻色系统的可积性和精确解

This project aims to develop novel mathematical tools to resolve fundamental problems in the area of spin-boson systems without U(1) symmetry. These systems are of central importance in modelling the ubiquitous matter-light interaction in nature. The project will creatively apply the quantum inverse scattering method to settle the problem of integrability of the Rabi model and its generalizations. It will introduce and develop new discrete non-classical orthogonal polynomials on non-uniform lattice, and apply them to obtain exact solutions for spectra and wavefunctions of the Rabi-type models. These results will be used to compute real-time dynamics and correlation function of the models.

本项目拟发展新颖的方法来研究没有U(1) 对称的自旋-玻色系统的能谱、波函数、动力学和关联函数，以期解决该领域中悬而未决的重要问题。将创造性的运用量子反散射方法对Rabi模型和它的推广是否可积这一重要问题给出明确的答案。将进一步发展和完善我们的多项式代数和泛函Bethe ansatz方法，并引入和发展新型的非均匀格点上的非经典离散正交多项式来解析求解Rabi-type模型的能谱和波函数，并用得到的结果来计算这些模型的实时动力学和关联函数。

对于量子可积模型，在精确求解能量谱之后，计算关联函是最为重要的基本问题。关联函数包含了物理系统的量子特性如关联、纠缠以及相变的大量信息，它们在量子场论、凝聚态物理和量子信息等领域具有重要的意义。在该方面的理论突破将会大大地拓广可积模型理论在相关领域的应用范围，具有重要的应用价值。本项目建立和发展新颖的数学方法来研究没有U(1) 对称的自旋-玻色系统的能谱、波函数、动力学和关联函数。用细粒化不确定关系刻画量子系统内部关联，以及其在Unruh退相干作用下的动力学，提出了一类超可积量子力学系统，构造了其运动积分和它们满足的代数关系，并精确求解。提出了建立在块坐标变量分离基础上的构造D-维超可积系统的新方法，研究了转移矩阵在某些特殊点的取值和渐进行为，得到了求解能谱的足够信息。用嵌套非对角BA方法研究了具有非对角边界条件的各向异性四分量自旋链的可积性，研究了具有可积开边界条件的XXZ模型在有隙区域的的热力学性质。发展和完善了非对角Bethe ansatz 方法，使得其可以用于求解多分量与Bn、Dn代数合Twisted 代数相关的U(1)对称破却可积模型。研究了新R-matrices和可积强关联费米模型，给出了从I-型量子超代数构造非可加谱参数R矩阵的一般公式。证明了二轴二自旋模型是精确可解的，并通过Jordan-Schwinger玻色变换求得了此模型的Bethe ansatz解。得到了N-维超可积Smorodinsky–Winternitz系统完整的高秩二项式对称性代数SW (N)。发现了由余代数的左、右Casimir不变量生成的二项式子代数在Racah代数R (N)和余代数对称的量子可积系统的多项式代数之间的联系中所起的作用。