向列相液晶中空间光孤立波的存在性和稳定性研究

Spatial optical solitons are highly nonlocal in nematic liquid crystals. Due to its wide applications in all-optical switches, light waveguide and optical computing technologies, the study of the spatial optical solitons in nematic liquid crystals have attracted attentions from many researchers in recent years. Most of the existing literatures on this topic have investigated mainly the linearized models, as well as exact solutions and approximate solutions for some special cases by the classical variational methods or the inverse scattering methods. The aim of this project is to study the nonlinear model for spatial optical solitons in nematic liquid crystals, and to build and enrich the mathematical theory of spatial optical solitons through qualitative analysis and numerical simulation. By converting the model equations for spatial optical solitons in nematic liquid crystals to the nonlinear nonlocal Schrodinger equations and applying modern variational methods, we will investigate the existence of the ground and excited state solutions as well as their geometrical properties and topological characterizations such as existence, symmetries, multi-peaks and asymptotic behaviors, etc. Furthermore, we will examine the orbital stability of the spatial optical solitary waves and develop their stability criterions; simulate numerically the spatial optical solitons in nematic liquid crystals by using the Virial theorem, the imaginary time iterative method and the approximate approximations technique; and explore the relationships between the parameters in nematic liquid crystals model equations. The outcomes of this project will not only further our understanding of spatial optical solitons in nematic liquid crystals, enrich their mathematical theory, but also provide potential applications on optimal designs of all-optical information devices.

向列相液晶中的空间光孤立波是强非局域空间光孤立波。 因在光波导和光计算等方面具有广泛的应用，对向列相液晶中的空间光孤立波的研究近年成为研究热点。大部分现有的文献主要局限于研究线性模型方程，以及利用古典变分方法或逆散射方法得到一些特定情形下的精确解和近似解。本项目拟研究向列相液晶中空间光孤立波的非线性模型方程，建立和丰富空间光孤立波的数学理论。通过将向列相液晶模型方程转化为非线性非局部薛定谔方程和应用现代变分方法，研究空间光孤立波基态解和激发态解的存在性、径向对称性、多峰性和渐近行为等特征；探讨其轨道稳定性和轨道稳定性的判断准则；并利用Virial定理、虚时间迭代方法与近似逼近法，数值模拟空间光孤立波的动态性质来揭示向列相液晶非局域程度与模型方程中参数之间的关系。本项目的研究成果不仅加深对向列相液晶中的空间光孤立波的理解，发展相关数学理论，而且对全光信息处理器件的最优设计具有指导意义。

按照项目研究计划确定的研究目标， 在向列相液晶中空间光孤立波的存在性和稳定性的研究方面取得了重要创新成果，取得的成果对孤立波理论和非线性光学领域增加了有意义和有价值的新内容。. 近年来，因在光波导、光网络和光计算等方面具有广泛的应用，向列相液晶中的空间光孤立波成为研究热点。本项目研究向列相液晶中空间光孤立波的存在性和稳定性，主要研究成果为： . 1）研究了一类（2+1）维、（1+1）维非线性非局部薛定谔方程组，该方程组描述了两种不同颜色的光束在向列相液晶中的传输和偏振，是一类重要的向列相液晶模型方程。数学上理论证明了该方程组解的适定性（即存在性、正则性和连续依赖性），并利用现代非线性分析理论，得到了空间向量孤立波基态解的存在性以及轨道稳定性和不稳定性的判定准则。. 2）研究了向列相液晶模型方程基态孤立波解的唯一性和对称性。数学理论上，移动平面法已成为证明偏微分方程解的对称性和唯一性的有力工具。采用 Chen-Li-Ou 提出的积分形式的移动平面法以及 Hardy-Littwood-Sobolev 不等式, 证明了向列相液晶模型方程所有基态孤立波正解均为径向对称的，更进一步，得到了孤立波正解的唯一性。. 3）研究了带平方交叉项的薛定谔方程组有界态和基态孤立波解的存在性和轨道稳定性。利用变分法和集中紧性原理，得到了该方程组有界态和基态孤立波的存在性。此外，我们还得到了有界态和基态孤立波解的轨道稳定性。该方程组是描述向列相液晶中空间光孤立波的一类重要模型方程。. 4）研究了向列相液晶模型方程光孤立波解的性态和动力学行为。利用群不变定理和集中紧性原理以及精细的渐近分析, 得到了模型方程光孤立波解的渐近行为，以及模型方程中各参数关于解的调制稳定性分析。