光传播问题的格子玻尔兹曼方法

The study of optics based on macroscopic electromagnetic theory and quantum theory is a very important research topic. Lattice Boltzmann method is an alternative and effective numerical method. At the present, few studies have been reported to employ Lattice Boltzmann method to research optical wave propagation problems and the study on the basic law for light propagation using this method based upon Maxwell’s equations and Schrödinger equation is even less. The aim of this project is systematically to study the basic law of light propagation from macro and micro aspects based on Maxwell’s equations and Schrödinger equation using lattice Boltzmann method: (1) The lattice Boltzmann models with high order accuracy for two- dimensional Maxwell’s equations and Schrödinger equation will be obtained, and the stability of the model will also be analyzed. In order to demonstrate the validity of the models, the classical propagation problems including diffraction, interference and dispersion of light will be simulated. (2) Furthermore, we will extend the models to three-dimensional space to study the classical optical imaging problems. (3) We next will study optical wave propagation problems in complex medium and further study the formation of the rainbow based on the research of reflection and refraction of light, and dispersion of prisms. Taken together, the research of the project will help to investigate the law of light propagation, and further reveal the nature of light propagation. Moreover, the research will provide theoretical support for a better use of the light in science and technology.

以宏观电磁理论和量子理论为基础研究光学问题是当今非常重要的研究课题。格子Boltzmann方法是一种可供选择的、有效的数值方法，目前这种方法对光传播问题的研究相对较少，而以Maxwell方程和Schrödinger方程为基础对光传播的基本规律的研究就更少了。本项目拟运用格子Boltzmann方法为Maxwell方程和Schrödinger方程建立模型，从宏观和微观角度系统地研究光传播的基本规律：(1) 建立二维Maxwell方程、Schrödinger方程的高精度格子BGK模型,并对模型进行稳定性分析，通过对光的干涉、衍射、色散等经典传播问题的模拟来验证模型的有效性；(2) 将模型扩展到三维空间以探讨经典光学成像问题；(3) 研究复杂介质中光的传播问题，以光的反射、折射和棱镜的色散为基础研究彩虹的形成。通过该项目的研究，进一步探讨光传播的基本规律，为光波更好地应用于科学技术提供理论依据。

本项目运用格子玻尔兹曼方法以Maxwell方程组和Schrödinger方程为基础从宏观和微观角度系统地研究了光传播的基本规律。首先，我们完成了二维方程的研究工作。我们对每一个方程都采取了两种不同的处理方式。通过选择合适的平衡态分布函数，分别建立了高精度的D2Qn模型，根据Hirt稳定性理论确定模型的稳定性条件，进而确定相关参数的取值范围。对于带源项的目标方程，我们在格子Boltzmann方程中加入了附加项以方便恢复宏观方程，通过分析研究多种附加项表达形式，系统地评价了附加项表达形式对模型的影响。我们选取部分模型对经典光传播问题进行了模拟计算，并与经典结果进行比较，验证了模型截断误差精度与经典结果一致，同时，通过对模型进行误差分析，给出了模型数值收敛的定性趋势。其次，在二维模型基础上对三维空间的光学成像问题进行了研究,我们使用D3Q7模型建模了不带源项的目标方程，进行了误差分析和稳定性分析，对透镜成像和小孔成像问题进行了模拟。最后，通过二维空间中多个棱镜对虹的模拟，我们将其推广到复杂介质中，引入光线追踪技术，对彩虹形成问题进行了探索性研究。.本项目对经典光传播问题的研究使得我们在基础层面对光波的传播规律进行了深入探索，获得了一些有意义的研究成果，这些成果为Maxwell方程组和Schrödinger方程的数值研究提供更多可供选择的途经，扩展了我们的研究思路，为后续研究工作和其他研究者的研究提供了一定的借鉴，丰富了光传播问题的研究成果，为人们深入认识光从本质上掌握光的规律和驾驭光提供了一定的理论支撑。