流形上的最优控制问题

In this project, we will study optimal control problems of controlled systems defined on manifolds. We will use the method based on the optimal control theory in Euclidean space and the Riemannian geometric tools. The study of optimal control problems on manifolds is an important method to solve optimal control problems of state constrained systems defined in Euclidean space. We will study the problems on manifolds with and without boundary respectively. For optimal control on manifolds without boundary, we will restrict our attention to four problems: dynamic programming method for terminal state constrained systems, the relationship between Pontryagin's maximum principle and dynamic programming method for terminal state constrained systems, the second order necessary conditions of singular controls of systems with or without terminal state constraints, and LQ problems. For optimal control on manifolds with boundary, we will also study four problems: the Pontryagin's maximum principle, the dynamic programming method, the relationship between the Pontryagin's maximum principle and the dynamic programming method, and the second order necessary conditions of singular controls.

本项目拟以黎曼几何为工具，以欧氏空间中的最优控制理论为基础，来研究流形上的控制系统的最优控制问题。对流形上的最优控制问题的研究是解决欧氏空间中具有状态约束的系统的最优控制问题的重要手段。我们拟分别研究无边流形和带边流形两种情况。对于无边流形上的最优控制，我们主要研究四个方面的问题：具有终端约束的控制系统的动态规划方法、具有终端约束的控制系统的Pontryagin最大值原理与动态规划方法之间的联系、无终端约束和有终端约束的控制系统的奇异最优控制所满足的二阶必要条件和LQ问题。对于带边流形上的最优控制，我们拟研究四个方面的问题：Pontryagin最大值原理、动态规划方法、Pontryagin最大值原理与动态规划方法之间的联系和奇异最优控制所满足的二阶必要条件。

本项目研究了黎曼流形上的最优控制问题，主要得到了以下结果：1）动态规划方法，以及其与庞特里亚金型最大值原理之间的联系；2）在控制集合为开集，状态终端固定情形下的最优控制的二阶必要和充分条件；3）在控制集合为一般度量空间，状态终端自由情形下的最优控制的二阶必要和充分条件；4）在控制集合为一般度量空间，状态终端固定情形下，最优控制的二阶必要条件；5）在状态终端自由情形下二阶最优性条件和值函数的联系；6）在控制集合为开集的情形下，最优控制问题的共轭时间以及它与最优控制的联系。以上结果表明黎曼流形上的最优控制和黎曼流形的曲率张量是密切相关的。