新型三维压电等几何边界元法及其在断裂问题中的应用

Boundary element method (BEM) has advantage on the fracture analysis. But it has trouble in analysis of anisotropic problems, due to the complexity of Green's function, which is the basic stone of BEM. This proposal, based on the newest development of explicit expressions of Green's function and its derivatives and the isogeometric technology, is aimed at a novel isogeometric boudary element method for three-dimensional piezoelectric materials and its application in study of fracture analysis. The specific problems includes: the conventional BEM with the isogeometric technology for three-dimensional (3D) piezoelectric materials with general anisotropy; the dual BEM with the isogeometric technology for 3D piezoelectric materials with general anisotropy; the fracture analysis based on the novel BEM. This project provides a new tool for the investigation of the influence of the anisotropy, the complicated boundaries, et al. on the fracture behavior of the piezoelectric materials in the 3D space.

边界元法在断裂分析中有一定的优势，但其在三维压电断裂分析的发展中存在制约。主要的原因是三维各向异性格林函数的复杂性。本项目在近几年发展的三维一般各向异性格林函数半解析解技术的基础上，结合等几何技术，拟建立精确高效求解各类压电材料三维问题的等几何边界元法，并在此基础上，对三维压电材料断裂问题进行基础科学研究。具体的内容包括：三维一般各向异性压电材料等几何常规边界元法的建立、实现和验证；三维一般各向异性压电材料对偶边界元法的建立、实现和验证；基于新型边界元法，研究各因素对三维压电材料的各断裂参数、多裂纹（平行裂纹和交叉裂纹）的相互作用、裂纹的静态扩展等问题的影响。本项目通过建立有效的三维压电材料断裂问题等几何边界元法，为在工程领域数值分析复杂边界、各向异性和裂纹形状等因素对压电材料三维断裂行为的影响提供新的数值工具。

压电材料在器件中往往起着关键元件的作用，研究压电结构中断裂、振动和声波问题对压电器件的设计有重要的指导作用。边界元法在断裂分析中具有优势。本项目以新式三维一般各向异性格林函数为基础，利用弱奇异边界积分方程建立压电等几何边界元法，并分析压电结构中的断裂问题。结果表明，通过弱奇异边界积分方程建立的等几何边界元法在高斯点比较少时就具有较高的精度。该特点在改进程序效率方面具有潜力。项目执行阶段提出了新的磁电弹材料一般各向异性格林函数的一体化半解析解表达式。为利用格林函数对磁电弹结构进行分析的方法提供新的计算方法。高阶理论常用于分析压电结构中的高频振动。本项目研究了一种新的高阶梁理论。对其一阶近似的研究表明其与铁木辛柯梁理论具有相同的频率方程。在计算频率和模态方面，新理论的一阶近似理论更接近平面应力理论的结果。该方法在梁的高频振动分析方面具有一定的发展潜力。在梁板理论中修正系数往往具有较重要的地位，决定着理论的准确性。然而在圆柱体中轴对称纵波的研究中缺少相关的内容。本项目研究了修正系数对圆柱体中轴对称纵波高阶近似理论的影响，发现当低波数搞频率时，带修正系数的近似理论更能准确的预测波的传播。这部分内容可用于指导基于轴对称纵的圆柱体器件的设计。