高效保结构算法的构造、并行化及其应用

In this project, we investigate and develop the basic theory and techniques of efficient structure-preserving algorithms for the nonlinear partial differential equations. Meanwhile, we construct some parallel structure-preserving algorithms, which are based on MPI+CUDA heterogeneous system. Furthermore, the proposed structure-preserving algorithms will be applied to numerical simulation of spinor Bose-Einstein condensation. The main content of this project includes the following three aspects: In first part, we develop the basic theory of structure-preserving algorithm, including the constructions of explicit or semi-explicit schemes, fast high-order algorithms for temporal discretization, split-step algorithms, the combination of structure-preserving algorithms with unstructured meshes, the establishment of general framework for the construction of structure-preserving algorithms. In the second part, we study the parallel structure-preserving algorithms, especially, implement the MPI+CUDA heterogeneous platform and effectively improve the efficiency of the original algorithm. In the third part, we study the application of structure-preserving algorithms in the numerical simulation of spinor Bose-Einstein condensation, which is based on the high-dimensional coupled Gross-Pitaevskii equations. This project will not only further enrich and optimize the basic theory and numerical calculation of the structure-preserving algorithms, but provide efficient, reliable and accurate numerical algorithms for the condensed matter physics.

本项目研究和发展非线性偏微分方程的高效保结构算法的基本理论和构造方法，并以此为基础，建立基于MPI＋CUDA的异构并行保结构算法，最后将其应用于旋量玻色—爱因斯坦凝聚的数值模拟。研究内容包含三个部分：1、研究发展保结构算法的基本理论，包括显式或半显式格式的构造、快速的高阶时间离散算法、分裂步算法、基于非结构网格的实现、以及建立保结构算法构造的一般框架。2、研究保结构算法并行化的技术，特别是利用MPI+CUDA平台对算法进行并行加速改进。3、基于高维耦合Gross-Pitaevskii方程组，研究保结构算法在旋量玻色—爱因斯坦凝聚中的应用。本项目的研究将进一步充实和完善保结构算法的理论基础和数值计算，也将为凝聚态物理的研究提供更高效、更可靠、更精确的数值计算方法。

本项目基于非线性偏微分方程的数学结构，系统构造出一系列高效高阶精度的保结构算法，在数值实验中均能保证长时间计算的稳定性和不变量保持特性。针对各种复杂系统的数学结构，通过引入小波理论、高阶紧致差分算法理论、谱分析理论、共形理论、哈密尔顿边值方法等，找到一种构造保结构算法的一般途径，能够直接应用于一大类非线性问题，根据问题自适应地选择需要保持特定物理量的保结构算法。通过与WENO算法结合，用于处理间断物理问题的非结构网格WENO数值方法，同时，项目组进一步优化了非结构网格技术，该技术不仅能灵活地离散拓扑上很复杂的求解区域，便于进行网格的自适应，而且有利于提高数值计算效率，在进行复杂系统仿真时具有不可替代的作用，已经将多种不同类型非结构网格技术软件化，极大地促进了网格生成效率。为进一步提升复杂系统仿真效率，本项目已经从硬件方面完成了并行计算平台的初步搭建，从软件方面逐步开始并行计算的探索实验，如用于处理具有守恒量的随机微分方程的时间并行parareal算法，取得了理想的数值效果。对于复杂BEC模型，构造出一系列高精度、高效率保结构算法，并将其应用于诸多物理问题的研究。项目的研究覆盖了非线性偏微分方程保结构算法理论和应用，有效拓展了相关领域的研究水平，项目达到了预期的研究目标，实现了项目规定的技术指标。