随机微分方程解的稳定性和矩有界性

In this project, we will study the stochastic stability and the boundedness of moments of the solutions to linear stochastic delay differential equations and stochastic age-structured models. First, for the 2-dimesional linear stochastic differential equations with a discrete delay and the linear stochastic differential equations with the distributed delay, we will analyze the distribution of the roots of the characteristic equations for the second moments of their solutions, and will give the sufficient conditions for boundedness and unboundedness of the moments, respectively. As the application of theoretic results, we will investigate the stochastic stability and the moment boundedness for the stochastic predator-prey model with a discrete delay and the distributed delay, respectively. Second, for stochastic linear age-structured model and stochastic delay age-structured model, we will study the stochastic stability and the boundedness of moments of their solutions through the technique of the Laplace transforms, Lyapunov functionals and some classical inequalities. Moreover, we will also investigate the influence of some parameters, such as morality modulus, birth modulus and time delay, and stochastic perturbations on the stochastic stability and the moment boundedness.

本项目将研究线性随机时滞微分方程和随机年龄结构模型解的稳定性和矩有界性。首先，对二维具有离散时滞和分布时滞的线性随机微分方程，深入细致地分析解的二阶矩对应的特征方程根的分布情况，建立便于应用的二阶矩有界和无界的充分条件。作为理论结果的应用，本项目还将研究具有离散时滞和分布时滞随机捕食者-食饵模型的稳定性和矩有界性。其次，对线性随机年龄结构模型和随机时滞年龄结构模型，将利用Laplace变换、Lyapunov泛函以及一些经典不等式，研究其解的随机稳定性和矩有界性，以及出生系数、死亡系数和时滞等参数和随机扰动对解的随机稳定性和矩有界性的影响。

年龄结构模型是描述生命系统的非常必要的模型，是结构种群动力学模型中一类非常重要的模型。如果考虑物种的整个生命过程经历幼年和成年两个不同阶段，通过引入时滞(成熟年龄)建立了年龄结构模型与时滞微分方程之间的联系。在年龄结构模型中考虑随机因素，那么得到随机年龄结构模型，所以随机年龄结构模型与随机时滞微分方程之间也建立了联系。. 本项分别研究了随机年龄结构模型和带有离散时滞的线性随机微分方程解的随机稳定性和有界性。对于带有白噪声扰动的和有色噪声扰动（种群随机变化的迁移或收获）的两种类型的随机年龄结构模型，我们分别对模型解的一阶矩和二阶矩，利用Laplace变换建立特征方程，然后根据特征方程的所有根的实部给出了原来模型解的一阶矩和二阶矩稳定和有界的充分条件和必要条件。. 对于具有离散时滞的线性随机微分方程，采用Laplace变换，利用一阶矩对应特征方程的所有根的实部的上确界，给出了一阶矩的稳定性的充分和必要条件。对于该方程解的二阶矩，当特征方程所有根的实部的上确界小于零时，我们建立了二阶矩的显示表达式，给出了二阶矩有界性的充分和必要条件，并且利用数值模拟验证了我们理论所得到的结果。当特征方程所有根的实部的上确界大于零时，由于理论建立二阶矩无界的充分条件比较困难，所以我们利用数值计算和模拟，给出了二阶矩无界的充分条件。. 本项目的研究成果不仅在数学上有理论意义，还对生物中随机种群模型有实际指导意义。.