混沌系统全局吸引集的新结果及对混沌控制与同步的应用

The key to study the global exponential attractive sets of the Lorenz family of .chaotic systems by G.A. Leonov and Liao is to research for the generalized posi.-tive definite and radially unbounded Lyapunov functions. The derivative of the .Lyapunov functions is generalized negative. And the elements of main diagonal of.the Jacobian matrix of the Lorenz family of the chaotic systems at the origin are.all negative. But for most dynamical systems, the elements of main diagonal of the.Jacobian matrix of the system at the origin are not always negative, such as the .Chen and the Lü system. As far as we know, there is seldom results for papers to .talk about the problem for this case. In this project, we will address the global .exponential attractive sets for two classes of dynamical systems. The elements of .main diagonal of the Jacobian matrix of the system at the origin are both negative.and zero for one class of dynamical systems and the elements of main diagonal of .the Jacobian matrix of the system at the origin are both negative and positive for.another class of dynamical systems. We generalize Liao's results of the global attractive set.

俄罗斯学者Leonov和廖晓昕等人对于著名的Lorenz系统族的全局指数吸引集的得出，关键在于寻求合适的Lapunov函数，使该Lapunov函数关于系统正半轨线的导数在吸引域内广义负定，而在吸引域外广义正定。他们的方法成立的前提是Lorenz系统族的线性部分系数矩阵的主对角线的元素全为负数，而大部分混沌系统的线性部分系数矩阵的主对角元往往含有正数或零元素（如Chen系统和Lü系统、统一混沌系统等）。对于这种类型的混沌系统的全局指数吸引集问题，现在很少有结果。本项目主要研究了一类在原点的线性化矩阵的主对角线上的元素既有负数又有零元素的系统的全局指数吸引集和另一类在原点的线性化矩阵的主对角线上的元素既有负数又有正数的混沌系统的全局指数吸引集，推广了廖晓昕等人关于全局指数吸引集研究的结果。

混沌系统有着对系统初值和系统参数的敏感依赖性。1963年，美国气象学家Lorenz提出了第一个混沌模型即 Lorenz 系统。混沌系统在数学、电路、混沌保密通信、图像加密、控制科学与工程、激光等领域都有着非常重要的研究和应用价值。 . 混沌系统的全局指数吸引集是动力系统定性理论研究的一个重要。混沌系统全局指数吸引集在混沌系统的反馈控制、混沌全局指数同步、估计混沌吸引子的维数等方面有着一系列的重要应用。如果能够从数学上严格证明一个混沌系统存在全局指数吸引集，那么可以断言全局吸引集之外不存在该混沌系统的平衡点、周期解、概周期运动和其它混沌吸引子，该混沌吸引子只能位于全局吸引集之内。因此，如何从数学上严格求出一个混沌系统的全局指数吸引集是一个具有挑战意义的研究课题。基于Lorenz混沌系统的重要理论意义和应用价值，1987年俄罗斯科学院院士G.A.Leonov发表了一系列论文研究了Lorenz 系统的有界性，并且得到了一些重要的研究结果. 随后，廖晓昕、郁培等首次提出全局指数吸引集的概念，根据李雅普诺夫稳定性理论研究了 Lorenz系统的全局指数吸引集，而且将Lorenz 混沌系统的全局指数吸引集结果应用到两个混沌系统的全局指数同步。随后，Chua电路系统、无刷直流电机等混沌系统的全局指数吸引集也得了一系列的研究和应用。.基于以上研究工作的启发，本项目组成员得到了Lorenz混沌系统的全局指数吸引集估计的一系列新结果，此结果包含和推广了前人关于Lorenz系统全局指数吸引集的研究结果。 以上学者研究方法成立的前提是该混沌系统在原点的线性化矩阵主对角线上的元素全为负数。本项目组成员推广了以上研究结果，对一类 Lorenz-Like 混沌系统（该类混沌系统在原点的线性化矩阵主对角线上的元素既有负数又有零）的全局指数吸引集进行了研究（(该研究结果发表在 SCI 期刊 Discrete and Continuous Dynamical Systems-B）。本项目成员还研究了其它一些混沌系统的全局指数吸引集，该研究结果可以为混沌系统的反馈控制、混沌的全局指数同步、混沌吸引子维数估计提供重要理论依据。. 综上所述，对本项目的研究不仅具有重要的理论价值，还具有更广泛的应用前景，是一个具有挑战意义的研究课题。