带非局部扰动的Schrödinger方程变号解的研究

This project is devoted to doing researches on the existence、multiplicity and asymptotic behavior of sign-changing solutions for Schrödinger equations with the nonlocal perturbation. It will help us to deepen the studies of quantum physics and to expand the applications of this theory in related fields. By using constraint variational methods, our main contents are as follows: (1) Under 3-superlinear or asymptotically 3-linear growth conditions, we study the existence and multiplicity of sign-changing solutions for a strongly indefinite Schrödinger-Poisson system by the sign-changing Nehari manifold、generalized weak linking theorem and generalized Nehari manifold. (2) We construct a new manifold and study the existence and asymptotic behavior of ground state sign-changing solutions for the Schrödinger-Poisson system with a 3-sublinear growth nonlinearity by the constrained minimization. (3) We consider the existence and multiplicity of sign-changing solutions for a strongly indefinite Choquard equation with the superlinear and asymptotically linear growth local nonlinearity by the sign-changing Nehari manifold and generalized Nehari manifold. (4) By means of the sign-changing Nehari manifold and the classical deformation lemma, we investigate the existence and nonexistence of sign-changing solutions for the Choquard equation with the critical local term.

本项目致力于研究带非局部扰动的Schrödinger方程变号解的存在性和多重性、基态变号解的存在性及渐近行为，有助于深化量子物理研究并拓展该理论在相关领域中的应用。利用约束变分法研究如下内容：(1)运用变号Nehari流形、广义弱环绕定理和广义Nehari流形，研究非线性项满足3-超线性增长及渐近3-线性增长条件的强不定Schrödinger-Poisson系统变号解的存在性与多重性。(2)构造新流形，利用约束极小法研究非线性项3-次线性增长时Schrödinger-Poisson系统基态变号解的存在性及渐近行为。(3)利用变号Nehari流形和广义Nehari流形，得到强不定Choquard方程当非线性项中的局部项满足超线性及渐近线性增长条件时变号解的存在性与多重性。(4)运用变号Nehari流形和经典形变引理，研究带临界局部项的Choquard方程变号解的存在性与不存在性。

变号解问题一直是学者们关注的热点问题，一方面因变号解频繁出现于物理学和生物学的模型中，另一方面源于数学家们对二阶Laplace算子特征值和特征函数的研究。相比于正解和负解，变号解具有更复杂的结构和数量特征，再加之非局部扰动的影响，研究半线性椭圆方程变号解的方法不再适用，故相关研究结果较少，其研究更富有挑战性。本项目研究了带非局部扰动的Schrödinger方程变号解的存在性和多重性，基态变号解的存在性、能量特征、变号区域数量及渐近行为，揭示了非局部扰动项与非线性项的相互作用对变号解的影响。具体研究内容如下：. (1)临界增长条件下的变号解：运用变号Nehari流形和经典Hofer形变引理，研究带临界局部项的Choquard方程基态变号解的存在性，以往关于Choquard方程变号解的研究集中在次临界情况，而临界指数的加入，增加了问题的难度，扩大了应用领域；利用等价变形方法，得到临界Kirchhoff型方程的基态变号径向解及无穷多变号解，因非局部扰动在能量估计方面具有干扰作用，导致以往利用变号Nehari流形，只能在很强的限制条件下得到基态变号解，而本项目不需要这些限制条件，扩大并精化了以往研究结果。. (2)3-线性及凹凸增长情况下的变号解：此情况下，存在变号函数与变号Nehari流形上多个函数对应，或存在变号函数与变号Nehari流形上的所有函数均不对应，一一对应关系打破。据了解，本项目首次将变号的Nehari流形分块，在分块上利用约束极小得到3-线性增长的Schrödinger-Poisson系统、带凹凸非线性项的Schrödinger-Poisson系统及Kirchhoff型方程的变号解。. (3)3-次线性增长条件下的变号解和非平凡解：利用等价变形方法得到渐近线性增长的Kirchhoff型方程基态变号径向解的存在性及渐近行为、无穷多变号解的存在性。以往研究关注非线性项满足超线性增长的情况，本项目研究更为困难的渐近线性增长情况；利用喷泉定理或Pohozaev恒等式的特点，得到满足(AR)条件的Klein-Gordon-Maxwell系统无穷多解的存在性及基态解的渐近行为。