二维临界渗流及其标度极限研究

Percolation is one of the basic models for phase transitions in probability theory and statistical physics. It has important influence on the study of Ising model and random-cluster model. In recent years, Schramm, Smirnov, Werner, et al. make breakthroughs on planar critical percolation and its scaling limits, which make this field a hot research topic in probability and statistical physics. Although this field develops fast, there are some basic problems not being solved so far, for example, the reversibility of the full-plane CLE and the incipient infinite cluster, the universality of 2D critical percolation, the SDE of multiple SLE curves, the convergence rate of the scaling limit, etc. This project will study some of these key problems and make essential contributions to them.

渗流是概率论和统计物理中关于相变的基本模型之一，对Ising模型、随机簇模型的研究有重要的指导意义。近些年，Schramm, Smirnov, Werner等人关于二维临界渗流及其标度极限的研究取得突破性进展，使其成为概率论和统计物理的研究热点。尽管这个研究领域发展很快，但目前仍存在很多基本问题有待解决。例如，全平面渗流标度极限与初始无穷簇标度极限的可逆性，二维临界渗流的普适性，多条SLE曲线族的随机微分方程，标度极限的收敛速度等。本项目拟研究其中的一些关键问题，对这些问题作出实质性的贡献。

渗流是概率论和统计物理中关于相变的基本模型之一，对伊辛模型、共形场论的研究有重要的指导意义。近些年，Schramm, Smirnov, Werner等人关于二维临界渗流及其标度极限的研究取得突破性进展，使其成为概率论的研究热点。本项目研究了临界和近临界渗流理论的一些基本问题，主要研究内容和结果如下：1）关于三角网格上的临界首达渗流证明了Kesten-Zhang(1997)对首达时极限定理的猜测。2）证明了三角网格上的渗流初始无穷簇的标度极限存在唯一且共形不变。对2-arm的情形, 给出了arm关于原点的缠绕数方差的显式渐近形式, 从而解决了Wieland-Wilson(2003)猜测的特殊情形。3）对于上临界首达渗流，给出了当渗流参数p趋于临界值时，首达时及其均值、方差的显式极限定理。4）对于下临界首达渗流，证明了当渗流参数p趋于临界值时，极限形状适当放缩后收敛于欧氏圆盘。5）得到上半平面三角网格上的临界首达渗流的显式极限定理。这些结果属于渗流理论的基本进展，已得到学界重要引用。例如，结果1）被最近的专著``50 years of first passage percolation"(Auffinger, Damron, Hanson, AMS University Lecture Series, 2017) 引述，并被Damron, Hanson, Lam (arXiv, 2019)利用且推广到一般情形。