p-进动力系统的混沌性

p-adic dynamical systems is a new research field which having drawn considerable attention in the mathematical community. This research topic is closely related to complex analysis, dynamical systems, ergodic theory, number theory, commutative algebra, non-Archimedean field and Berkovich space etc. The central theme of p-adic dynamical system is studying the iterations of p-adic function on p-adic field which mainly contains “complex” (investigating Fatou and Julia sets of functions on the field C_p of “complex” p-adic numbers or Berkovich space ) and “real” p-adic dynamical systems (investigating the minimality and minimal decomposition of functions on the field Q_p of p-adic numbers)... This project will investigate the chaotic behavior of rational maps on the field Q_p of p-adic numbers. The goals of this research are: to obtain the condition under which does chaos exist; to investigate the relation of the dynamical system of rational map on the fields Q_p and those on the field extensions of Q_p; to investigate the dynamical behavior of special rational maps (hyperbolic, post critical finite etc) by conjugating the chaotic parts to subshifts of finite type or topological Markov chains.

p-进动力系统的研究涉及到复分析、动力系统、遍历论、数论、交换代数、非阿基米德域和Berkovich空间等多个方向，是当前国际上广受关注的新兴和热点领域。 p-进动力系统研究p-进数域上函数迭代形成的动力系统，主要包括“复”p-进动力系统（主要研究p-进复数域及Berkovich空间上函数的Fatou集和Julia集性质）和“实”p-进动力系统（主要研究p-进数域上动力系统极小性和极小分解）。. 本项目计划研究p-进 “实”数域上有理函数的动力系统混沌性质，主要内容包括：寻找混沌存在的条件；建立p-进“实”数域上有理函数动力系统与扩域上动力系统之间的联系; 利用p-进 “复”数域及Berkovich空间上有理函数动力系统的现有理论来研究p-进“实”数域上有理函数的动力学行为；研究特殊有理函数（双曲、临界有限等）的动力力学行为，通过拓扑有限子位移或者拓扑Markov链来刻画其混沌性。

在该项目的资助下，我们主要研究了p-进数域上多项式、收敛级数、有理映射生成的动力系统以及调和分析相关的问题。对于没有扩张性的多项式或者有理函数，我们主要研究其动力系统的极小性:给出了Chebyshev多项式在2-adic整数环上的极小分解，得到了这一族多项式动力系统的完整刻画；对于有好的约化的有理函数，给出了动力系统的极小分解和极小性的判定准则，特别是是当p等于2是，给出了基于有理函数系数来判定动力系统极小性的条件。对于一类有扩张性的有理函数，我们研究了动力系统的混沌性，得到了混沌存在的条件，对于p等于2时，我们完全刻画了这一族有理函数的混沌性质。此外，我们还研究了p-进数域上的谱集问题，证明了一维p-进空间上Fuglede猜想是正确的，并给出了谱集的几何刻画。